视频运动估计技术简介
视频编码技术是现代数字媒体技术的基石，运动估计是视频编码技术中一个重要的组件，用于检测视频帧之间的冗余，从而压缩视频文件的存储。本文将介绍运动估计的背景，基本原理，实现和一些应用。
视频的存储问题
视频已经是我们现代信息技术中最常用的一种数据形式，我们可以通过网络下载视频或者流媒体播放视频。但是，日常很少有人意识到视频其实是一个非常复杂的数据。我们考虑一个120分钟、30帧每秒的1080p的RGB格式电影，一共有 $1080 \times 1920$ 个像素点，每个像素点有RGB三个通道，每个通道上用一个8 bit的0～255之间的数值表示，那么每个像素点需要24个bit。120分钟的视频，每秒钟30帧，则有 $120 \times 60 \times 30$ 张图片，那么总的存储为
$$ \text{Vol} \approx10749\text{Gb}\approx1343\text{GB} $$很明显，我们平时下载电影，不会出现一个1343GB的文件，一般是1GB到几十GB不等的小文件。这是因为视频编码技术极大地压缩了视频文件。
运动估计的基本原理
视频压缩的基本方法是帧间压缩。帧间压缩的主要思想是，视频相邻帧变化很小，存在大量的冗余成分，因此，大量的冗余数据可以被节约，从而实现压缩。需要注意的是，视频压缩中虽然也有涉及帧内压缩，帧内压缩更多的是图像压缩技术，在此不做详细讨论。
帧间压缩的主要实现方式是运动估计。运动估计是检测帧间冗余的方法，通过估计视频内容的运动，来匹配帧间相似的内容。运动估计的基本假设是光强一致性假设，即在相邻帧中，相同的物体的光强是一致的。假设$V(x,y,t)$ 为一个用空间坐标$(x,y)$和时间$t$形容的视频帧序列，那么光强一致性假设为
$$ V(x,y,t)=V(x+d_x,y+d_y,t+d_t) $$其中，$(d_x, d_y)$是相邻帧之间的偏移量，$d_t$是时间变化量。使用泰勒一阶展开，可以得到:
$$ \frac{\partial{V}}{\partial{x}}d_x+\frac{\partial{V}}{\partial{y}}d_y+\frac{\partial{V}}{\partial{t}}d_t=0 $$两边同时除以$d_t$可以得到：
$$ \frac{\partial{V}}{\partial{x}}v_x+\frac{\partial{V}}{\partial{y}}v_y+\frac{\partial{V}}{\partial{t}}=0 $$这个公式也可以表示为$\nabla V^T\textbf{v}+\frac{\partial V}{\partial t}=0$. $\nabla V=[\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y}]^T$ 是$V(x,y,t)$的空间梯度向量。$\textbf{v}=[v_x, v_y]=[\frac{d_x}{d_t}, \frac{d_y}{d_t}]$是速度向量。每个像素的速度向量$\textbf{v}$可以分解成两个正交分量$\textbf{v}=v_n\textbf{e}_n+v_t\textbf{e}_t$，其中$\textbf{e}_n$是图像梯度$\nabla{V}$的方向向量。因此公式3可以被转换为：
$$ v_n||\nabla V||+\frac{\partial V}{\partial t}=0 $$其中$||\nabla V||$是梯度向量的模长。在此方程中，速度向量是没有办法通过$||\nabla V||$和$\frac{\partial V}{\partial t}$得到的。因此需要一个额外的限制，利用像素邻域进行运动估计。
运动估计的目标表示为
$$ E(u,v)=\int_\Omega \rho(V_xu+V_yv+I_t)dxdy $$其中$\rho$是数据保真度项。因此，运动估计的目标是得到最还原原始帧的运动向量的组合。